Razões e Proporções

• Razão

É uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

• 
• 

As razões acima podem ser lidas como:

• razão de a para b
• a está para b
• a para b

Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razão inversa ou recíproca

Vejamos as seguintes razões:

e

Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.

Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razões:

e

A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.

Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.

Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.

Proporção

É a igualdade entre razões.

Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.

Indicamos esta proporção por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

ou

Ou

ou

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

ou

Ou

ou

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Fonte: Matemática Didática

Fatoração

Fatorar- é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

A fatoração mais comum é a fatoração de números, vela a do número 144:

Para fatorarmos 144 devemos dividi- lo por fatores primos (números que dividem por um e por ele mesmo), vejamos:

144= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3= 2⁴ x 3²

[Fatores Primos]

Podemos fatorar não só números, mas também expressões algébricas, a fatoração é uma forma diferente de representarmos um número ou uma expressão.

• 50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5² é a forma fatorada do número 50.
• x² - 1 = (x + 1).(x - 1) é a forma fatorada da expressão x² - 1.

Para cada expressão algébrica, dependendo da quantidade de monômios ou da operação entre eles, ela tem uma forma diferente de ser fatorada. Vejamos o nome de cada caso de fatoração:

1. Fator Comum (colocar o termo em evidência);
2. Agrupamento;
3. Trinômio do quadrado perfeito;
4. Trinômio do tipo x² + sx + p;
5. Diferença de dois quadrados;
6. Soma de dois cubos;
7. Diferença de dois cubos.

Fator comum em evidência

Quando a expressão possuir um termos ou variável em comum.

Observe o polinômio:

ax + ay , ambos apresentam o fator a em evidência.

Assim, ax + ay = a(x + y), Forma Fatorada

Ex ;

a) bx + by - bz = b(x + y - z)

b) 2x² + 4xy = 2x(x+ 2y)

c)12ax²z + 24axz² - 12a²xz = 12axz(x + 2z - a)

Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay +bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x + y) + b.(x + y)

Esse novo polinômio possui (x + y) em comum. Assim, colocando- o em evidência:

(x + y).(a + b), ou seja, ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b)

Ex:

a) x² - 3x - ax - 3a = x.(x - 3) + a.(x - 3) = (x - 3).(x + a)

b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b².(2 + a) + c³.(2 + a) = (2 + a).(b² + c³)

Trinômio quadrado perfeito

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômio(a² + 2ab + b²) e (a² - 2ab + b²) são quadrados perfeitos, porque são obtidos quando se eleva (a + b) e (a - b) ao quadrado, respectivamente.

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²= a² - 2ab + b²

Assim:

4x² - 12xy + 9y²

| |

| |

2x 3y

|__________|

|

2.2x.3y = 12xy (note que é igual ao segundo termo de 4x² - 12xy + y²), portanto, trata- se de um quadrado perfeito.

4x² - 12xy + 9y² = ( 2x - 3y)² -- Forma Fatorada

Ex :

a) x² - 10x +25 = (x - 5)²

b)16x² + 24xy +9y² = (4x + 3y)²

Obs: Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá- la por completo:

a) 3x² + 6x + 3 = 3.( x² + 2x + 1) = 3(x + 1)²

b) 25a⁴ - 100b² = 25.(a⁴ - 4b²) = 25.(a² + 2b).(a² - b)

Trinômio do Tipo: x² + sx + p

O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio.

A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem quer formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de Trinômio do Tipo x² + sx + p, onde S é a soma , e P o produto.

Veja os exemplos:

Dada a expressão y² - 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito .

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatora essa expressão algébrica é x² + sx + p. Dada a expressa y² - 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes, se estiver basta achar dois números que somados que resultem em -5 e que o produto resultem em 6.

Vamos fazer as tentativas para que o produto resultem em 6:

• 2 X 3 = 6
• (-2) x (-3) = 6
• 6 x 1 = 6
• -6 x (-1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidade, achar uma das que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(y - 2).(y - 3).

Dada a expressão , m² + 7m - 8, devemos achar dois números que resulte 7 e produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em -8.

• 1 x (-8) = -8
• -1 x 8 = -8
• 4 x (-2) = -8
• -4 x 2 = -8

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma das que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(m - 1).(m + 8)

Outros casos de fatoração

1. x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
2. x³ - y³ = (x - y).(x² + xy +y²)

Fontes:

1. http://www.exatas.mat.br/fatoracao.htm

2. http://ensinodematemtica.blogspot.com/2011/07/4-caso-de-fatoracao-trinomio-do-tipo-x.html

3. http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressoes-algebricas.htm

Divisibilidade

Em uma divisão existem alguns termos:

• Dividendo- número que será dividido;
• Quociente- resultado da divisão;
• Divisor- número que divide e
• Resto- o que sobra da divisão.

Quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exata. Sendo assim, podemos concluir que nessa divisão ocorre uma divisibilidade, ou seja, podemos encontrar múltiplos e divisores.

• Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Ex :

8490 é divisível por 2, pois termina em 0.

895 não é divisível por 2, pois não é um número par.

• Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Ex :

870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3.

• Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Ex :

9500 é divisível por 4, pois termina em 00.

6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.

836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4.

9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4.

• Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Ex:

425 é divisível por 5, pois termina em 5.

78960 é divisível por 5, pois termina em 0.

976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

• Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Ex::

942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

• Divisibilidade por 7

Seja um número 59325.

Separamos o dígito das unidades (5) do restante do número, 5932, tiramos o dobro do dígito(2 x 5). Do resto, separamos novamente o dígito das unidades e procedemos como se mostra a seguir:

Ex¹ :

59325 x 2 = 5932 - 10 = 5922

5922 x 2 = 592 - 4 = 588

588 x 2 = 58 - 16 = 42

Como o último resto, 42, é divisível por 7, concluímos que 59325 é divisível por 7.

Ex² : Seja agora o número 35487.

35487 x 2 =3548 - 14 = 3534

3534 x 2 = 353 - 8 = 345

345 x 2 = 34 - 10 = 24

Como 24 não é divisível por 7, concluímos que 35487 não é divisível por 7.

• Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Ex :

2000 é divisível por 8, pois termina em 000.

98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.

98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.

78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

• Divisibilidade por 9

É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9.

Ex:

90 é divisível por 9, pois 9 + 0 = 9

1125 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9

4788 é divisível por 9, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27

• Divisibilidade por 10

Todo número terminado em 0 será divisível por 10.

Ex :

100 é divisível por 10

200 é divisível por 10

4.000 é divisível por 10

• Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.

Ex :

1342 é divisível por 11, pois 134 - 2 = 132 → 13 - 2 = 11

2783 é divisível por 11, pois 278 - 3 = 275 → 27 - 5 = 22

7150 é divisível por 11, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66

• Divisibilidade por 12

São os números divisíveis por 3 e 4.

Ex :

276 é divisível12, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69

672 é divisível 12, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

• Divisibilidade por 13

Verificaremos se 8281 e 30204 são divisíveis por 13

Ex¹:

8281 x 9 = 828 - 9 = 819

819 x 9 = 81 - 81 = 0

0 é divisível por 13; logo, 8281 é divisível por 13.

Ex²:

30204 x 9 = 3020 - 36 = 2984

2984 x 9 = 298 - 36 = 262

262 x 9 = 26 - 18 = 8

8 não é divisível por 13; logo, 30204 não é divisível por 13.

Fontes:

1. http://www.mundovestibular.com.br/articles/56/1/DIVISIBILIDADE/Paacutegina1.html
2. http://www.brasilescola.com/matematica/criterios-divisibilidade.htm
3. http://professorananiasribeiro.blogspot.com/2010/03/divisibilidade-por-713-e-17.html