Fatoração

Fatorar- é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

A fatoração mais comum é a fatoração de números, vela a do número 144:

Para fatorarmos 144 devemos dividi- lo por fatores primos (números que dividem por um e por ele mesmo), vejamos:

144= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3= 2⁴ x 3²

[Fatores Primos]

Podemos fatorar não só números, mas também expressões algébricas, a fatoração é uma forma diferente de representarmos um número ou uma expressão.

• 50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5² é a forma fatorada do número 50.
• x² - 1 = (x + 1).(x - 1) é a forma fatorada da expressão x² - 1.

Para cada expressão algébrica, dependendo da quantidade de monômios ou da operação entre eles, ela tem uma forma diferente de ser fatorada. Vejamos o nome de cada caso de fatoração:

1. Fator Comum (colocar o termo em evidência);
2. Agrupamento;
3. Trinômio do quadrado perfeito;
4. Trinômio do tipo x² + sx + p;
5. Diferença de dois quadrados;
6. Soma de dois cubos;
7. Diferença de dois cubos.

Fator comum em evidência

Quando a expressão possuir um termos ou variável em comum.

Observe o polinômio:

ax + ay , ambos apresentam o fator a em evidência.

Assim, ax + ay = a(x + y), Forma Fatorada

Ex ;

a) bx + by - bz = b(x + y - z)

b) 2x² + 4xy = 2x(x+ 2y)

c)12ax²z + 24axz² - 12a²xz = 12axz(x + 2z - a)

Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay +bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x + y) + b.(x + y)

Esse novo polinômio possui (x + y) em comum. Assim, colocando- o em evidência:

(x + y).(a + b), ou seja, ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b)

Ex:

a) x² - 3x - ax - 3a = x.(x - 3) + a.(x - 3) = (x - 3).(x + a)

b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b².(2 + a) + c³.(2 + a) = (2 + a).(b² + c³)

Trinômio quadrado perfeito

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômio(a² + 2ab + b²) e (a² - 2ab + b²) são quadrados perfeitos, porque são obtidos quando se eleva (a + b) e (a - b) ao quadrado, respectivamente.

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²= a² - 2ab + b²

Assim:

4x² - 12xy + 9y²

| |

| |

2x 3y

|__________|

|

2.2x.3y = 12xy (note que é igual ao segundo termo de 4x² - 12xy + y²), portanto, trata- se de um quadrado perfeito.

4x² - 12xy + 9y² = ( 2x - 3y)² -- Forma Fatorada

Ex :

a) x² - 10x +25 = (x - 5)²

b)16x² + 24xy +9y² = (4x + 3y)²

Obs: Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá- la por completo:

a) 3x² + 6x + 3 = 3.( x² + 2x + 1) = 3(x + 1)²

b) 25a⁴ - 100b² = 25.(a⁴ - 4b²) = 25.(a² + 2b).(a² - b)

Trinômio do Tipo: x² + sx + p

O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio.

A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem quer formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de Trinômio do Tipo x² + sx + p, onde S é a soma , e P o produto.

Veja os exemplos:

Dada a expressão y² - 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito .

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatora essa expressão algébrica é x² + sx + p. Dada a expressa y² - 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes, se estiver basta achar dois números que somados que resultem em -5 e que o produto resultem em 6.

Vamos fazer as tentativas para que o produto resultem em 6:

• 2 X 3 = 6
• (-2) x (-3) = 6
• 6 x 1 = 6
• -6 x (-1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidade, achar uma das que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(y - 2).(y - 3).

Dada a expressão , m² + 7m - 8, devemos achar dois números que resulte 7 e produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em -8.

• 1 x (-8) = -8
• -1 x 8 = -8
• 4 x (-2) = -8
• -4 x 2 = -8

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma das que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(m - 1).(m + 8)

Outros casos de fatoração

1. x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
2. x³ - y³ = (x - y).(x² + xy +y²)

Fontes:

1. http://www.exatas.mat.br/fatoracao.htm

2. http://ensinodematemtica.blogspot.com/2011/07/4-caso-de-fatoracao-trinomio-do-tipo-x.html

3. http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressoes-algebricas.htm