Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
- Determinação da altura de um certo prédio.
- Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
- Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
- Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
- Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
| Termo | Origem da palavra |
|---|---|
| Cateto | Cathetós: (perpendicular) |
| Hipotenusa | Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) |
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
| Letra | Lado | Triângulo | Vértice = Ângulo | Medida |
|---|---|---|---|---|
| a | Hipotenusa |  | A = Ângulo reto | A=90° |
| b | Cateto | B = Ângulo agudo | B<90° | |
| c | Cateto | C = Ângulo agudo | C<90° |
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
| Ângulo | Lado oposto | Lado adjacente | |
|---|---|---|---|
| C | c cateto oposto | b cateto adjacente | |
| B | b cateto oposto | c cateto adjacente |
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedade do triângulo retângulo
- Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
- Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
- Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
- o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
- o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
- o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
- m = projeção de c sobre a hipotenusa.
- n = projeção de b sobre a hipotenusa.
- a = m+n.
- h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
| Triângulo | hipotenusa | cateto maior | cateto menor |
|---|---|---|---|
| ABC | a | b | c |
| ADC | b | n | h |
| ADB | c | h | m |
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
| Função | Notação | Definição |
|---|---|---|
| seno | sen(x) | medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa |
| cosseno | cos(x) | medida do cateto adjacente a x medida da hipotenusa |
| tangente | tan(x) | medida do cateto oposto a x medida do cateto adjacente a x |
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
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Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
Postado por: Biããh Fernanda
