Conceito
Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa tende a estabilizar-se em torno de .
Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:
Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:
Propriedades
Sendo S ≠ um espaço amostral qualquer, A um evento de S e o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades:
? P( ) = 0
? P(S) = 1
? 0 ≤ P(A) ≤ 1
? P(A) + P( ) =1
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
quinta-feira, 6 de outubro de 2011
Progressão Aritmética
A sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um número e seu antecessor resulta em um valor constante é denominada de Progressão Aritmética. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da PA. Observe:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, ...
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3
14 – 11 = 3
17 – 14 = 3
20 – 17 = 3
23 – 20 = 3
26 – 23 = 3
29 – 26 = 3
Observe que nessa sequência a razão possui valor igual a 3.
Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo ou o número de termos com base no valor da razão e do 1º termo. Para tais cálculos, basta utilizar a seguinte expressão matemática:
an = a1 + (n – 1) * r
Exemplo 1
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática determina a soma dos termos de uma PA.
Exemplo 2
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
Cálculo da razão da PA
3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
Soma dos termos
A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.
Por: Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, ...
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3
14 – 11 = 3
17 – 14 = 3
20 – 17 = 3
23 – 20 = 3
26 – 23 = 3
29 – 26 = 3
Observe que nessa sequência a razão possui valor igual a 3.
Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo ou o número de termos com base no valor da razão e do 1º termo. Para tais cálculos, basta utilizar a seguinte expressão matemática:
an = a1 + (n – 1) * r
Exemplo 1
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática determina a soma dos termos de uma PA.
Exemplo 2
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
Cálculo da razão da PA
3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
Soma dos termos
A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.
Por: Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Progressão Geométrica: Métodos e Técnicas de Ensino
As sequências numéricas matemáticas estão presentes em diversas situações cotidianas. No Ensino Médio, os estudos sobre essas sequências envolvem as progressões aritméticas e geométricas. Enfatizaremos nossa visão sobre as propriedades, definições e elementos de uma Progressão Geométrica, pois esse modelo de sequência numérica obedece a uma determinada lógica, que difere da forma sequencial de uma Progressão Aritmética.
No caso da PG, oriente os alunos a estabelecerem a razão da sequência numérica, sendo calculada da seguinte maneira: a partir do segundo termo dividimos o número seguinte pelo seu antecessor, o resultado será um valor constante denominado razão da PG. Exemplo:
Na sequência (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366) a razão será 3, pois:
6 : 2 = 3
18 : 6 = 3
486 : 162 = 3
1458 : 486 = 3
13122 : 4374 = 3
39366 : 13122 = 3
Mostre aos jovens os elementos e as abreviações:
an: último termo da progressão
a1: primeiro termo da progressão
n: número de elementos da progressão
Classificar uma PG é de grande importância no desenvolvimento das expressões, pois facilita a interpretação das situações problemas. A classificação depende do valor da razão da PG, veja:
Crescente: a1 > 0 e q >0 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1
Oscilante: quando q < 0.
Para determinarmos um dos termos de uma PG, utilizamos a seguinte expressão matemática: an = a1*q n – 1.
Verifique a assimilação e compreensão dos conteúdos por parte dos alunos através de exercícios que poderão ser facilmente encontrados em livros do Ensino Médio. Resolva alguns exercícios explicando e dando dicas práticas de resolução e alertando sobre a interpretação nas situações envolvendo problemas. Por exemplo:
Dada a sequência (3, 12, 48, 576, 2304, 9216, 36864,....), determine o 14º termo da progressão geométrica.
Resolução:
Razão (q) = 12 : 3 = 4
a1 = 3
n = 14
an = a1 * qn – 1
a14= 3 * 414 – 1
a14 = 3 * 413
a14 = 3 * 67108864
a14 = 201.326.592
As metodologias utilizadas servem como ferramenta auxiliar, ficando a critério do professor a utilização de outros meios educacionais no ensino das progressões geométricas.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
No caso da PG, oriente os alunos a estabelecerem a razão da sequência numérica, sendo calculada da seguinte maneira: a partir do segundo termo dividimos o número seguinte pelo seu antecessor, o resultado será um valor constante denominado razão da PG. Exemplo:
Na sequência (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366) a razão será 3, pois:
6 : 2 = 3
18 : 6 = 3
486 : 162 = 3
1458 : 486 = 3
13122 : 4374 = 3
39366 : 13122 = 3
Mostre aos jovens os elementos e as abreviações:
an: último termo da progressão
a1: primeiro termo da progressão
n: número de elementos da progressão
Classificar uma PG é de grande importância no desenvolvimento das expressões, pois facilita a interpretação das situações problemas. A classificação depende do valor da razão da PG, veja:
Crescente: a1 > 0 e q >0 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1
Oscilante: quando q < 0.
Para determinarmos um dos termos de uma PG, utilizamos a seguinte expressão matemática: an = a1*q n – 1.
Verifique a assimilação e compreensão dos conteúdos por parte dos alunos através de exercícios que poderão ser facilmente encontrados em livros do Ensino Médio. Resolva alguns exercícios explicando e dando dicas práticas de resolução e alertando sobre a interpretação nas situações envolvendo problemas. Por exemplo:
Dada a sequência (3, 12, 48, 576, 2304, 9216, 36864,....), determine o 14º termo da progressão geométrica.
Resolução:
Razão (q) = 12 : 3 = 4
a1 = 3
n = 14
an = a1 * qn – 1
a14= 3 * 414 – 1
a14 = 3 * 413
a14 = 3 * 67108864
a14 = 201.326.592
As metodologias utilizadas servem como ferramenta auxiliar, ficando a critério do professor a utilização de outros meios educacionais no ensino das progressões geométricas.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Fatorial e o Principio Fundamental da Contagem
Fatorial
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.
Veja alguns exemplos:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800
Princípio Fundamental da Contagem
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.
Exemplo 1
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
Exemplo 2
Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?
Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.
Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.
Veja alguns exemplos:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800
Princípio Fundamental da Contagem
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.
Exemplo 1
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
Exemplo 2
Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?
Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.
Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Medidas de Tendência Central (médias, moda e medida)
A Estatística é bastante utilizada em diversos ramos da sociedade, no intuito de realizar pesquisas, colher dados e processá-los, analisar informações, apresentar situações através de gráficos de fácil compreensão. Os meios de comunicação, ao utilizarem gráficos, deixam a leitura mais agradável. O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é considerado um órgão importante e conceituado na área. No intuito de conhecer e aprofundar nos estudos estatísticos precisamos conhecer alguns conceitos e fundamentos primordiais para o desenvolvimento de uma pesquisa.
Conceitos e Fundamentos
População: conjunto de elementos, número de pessoas de uma cidade.
Amostra: parte representativa de uma população.
Variável: depende da abordagem da pesquisa, da pergunta que será feita. Exemplo: Qual sua marca de carro favorita? Ford, Volks, Fiat, Peugeot, Nissan são alguns exemplos de resposta.
Frequência absoluta: valor exato, número de vezes que o valor da variável é citado.
Frequência relativa: valor representado através de porcentagem, divisão entre a frequência absoluta de cada variável e o somatório das frequências absolutas.
Medidas de tendência central
Média aritmética: medida de tendência central. Somatório dos valores dos elementos, dividido pelo número de elementos.
Média aritmética ponderada: Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos pesos, dividido pela soma dos pesos atribuídos.
Moda: valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete.
Mediana: medida central em uma determinada sequência de dados numéricos.
Medidas de dispersão
Amplitude: subtração entre o maior valor e o menor valor dos elementos do conjunto.
Variância: dispersão dos dados variáveis em relação à média.
Desvio Padrão: raiz quadrada da variância. Indica a distância média entre a variável e a média aritmética da amostra.
Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Sequência Numérica
Sequência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem.
É comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma seqüência.
Por exemplo:
Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem.
O estudo de seqüência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de seqüência numérica.
Exemplo:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma seqüência de números que começa com a letra D.
Matematicamente quando temos uma seqüência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo an.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10
A seqüência acima é uma seqüência finita sua representação geral é (a1, a2, a3,..., an ), para as seqüências que são infinitas a representação geral é (a1, a2, a3, an, ... ).
Para determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A seqüência definida pela lei de formação an = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an é o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por esse motivo, an é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqüência.
• n = 1 → a1 = 2 . 1² - 1 → a1 = 1
• n = 2 → a2 = 2 . 2² - 1 → a2 = 7
• n = 3 → a3 = 2 . 3² - 1 → a3 = 17
• n = 4 → a4 = 2 . 4² - 1 → a4 = 31
.
.
.
Assim a seqüência formada é (1, 7, 17, 31, ...)
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
Probabilidade
Conceito
Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa tende a estabilizar-se em torno de .
Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:
Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:
Propriedades
Sendo S ≠ um espaço amostral qualquer, A um evento de S e o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades:
? P( ) = 0
? P(S) = 1
? 0 ≤ P(A) ≤ 1
? P(A) + P( ) =1
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa tende a estabilizar-se em torno de .
Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:
Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:
Propriedades
Sendo S ≠ um espaço amostral qualquer, A um evento de S e o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades:
? P( ) = 0
? P(S) = 1
? 0 ≤ P(A) ≤ 1
? P(A) + P( ) =1
Por Danielle de Miranda
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