terça-feira, 4 de outubro de 2011

''Simetrias de uma figura''

Simetrias de uma figura

        A identificação de simetrias numa figura $ \Omega$ é da maior relevância na investigação das propriedades de $ \Omega$ e na resolução de problemas geométricos que lhe dizem respeito.
Existem figuras $ \Omega$ que podem ser vistas como a união de uma figura $ \mathcal{F}$ com sua imagem $ \mathcal{F}^{\prime}=R_{l}\left( \mathcal{F}%\begin{displaymath} A^{\prime}P^{... ...P+rPB=r\left[ AP+PB\right] =rAB=A^{\prime}B^{\prime}. \end{displaymath}\right) $ pela reflexão na reta $ l\subseteq\mathcal{F}$. Nesse caso, dizemos que a figura $ \Omega\mathcal{=F\cup F}^{\prime}$ é uma figura simétrica (axialmente) em relação à reta $ l$. A transformação $ R_{l}$ é chamada de simetria axial interna e a reta $ l$ é chamada de eixo de simetria interna da figura.
Algumas importantes figuras geométricas admitem um ou mais eixos de simetria interna, como, por exemplo:

  • o segmento $ \overline {AB}$ e o ângulo $ \angle BAC$ admitem um eixo de simetria: a mediatriz do primeiro e a bissetriz do segundo;
    \includegraphics[ height=1.0222in, width=3.3901in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria01.eps}
  • o triângulo isósceles e o trapézio isósceles também admitem um eixo de simetria: a mediatriz de suas bases;
    \includegraphics[ height=1.209in, width=3.0978in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria02.eps}
  • o losango e o retângulo, dois eixos de simetria: as retas suportes das diagonais do primeiro e as medianas dos lados do segundo;
    \includegraphics[ height=1.2868in, width=3.0666in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria03.eps}
  • o triângulo equilátero, três eixos de simetria: as mediatrizes dos lados;
    \includegraphics[ height=1.3041in, width=1.2427in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria04.eps}
  • o quadrado (losango e retângulo), quatro eixos de simetria: as retas suportes das diagonais e as medianas dos lados;
    \includegraphics[ height=1.2964in, width=1.2964in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria05.eps}
  • um polígono regular de n lados: $ n$ eixos de simetria: retas passando pelo "centro" e pelos vértices;
    \includegraphics[ height=1.292in, width=2.7319in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria06.eps}
  • o círculo, infinitos eixos de simetria: retas contendo os diâmetros.
    \includegraphics[ height=1.4183in, width=1.4183in ]{Figuras/Fig-EixoSeimetria07.eps}
Suponhamos que, relativamente a um ponto $ O$, duas figuras $ \mathcal{F}$ e $ \mathcal{F}^{\prime}$ estejam associadas pela simetria $ S_{O}$, isto é, $ \mathcal{F}^{\prime}=S_{O}\left( \mathcal{F}\right) $. Nesse caso, dizemos que a figura $ \Omega\mathcal{=F\cup F}^{\prime}$ é uma figura simétrica em relação ao ponto $ O$. A transformação $ S_{O}$ é chamada de simetria central interna e o ponto $ O$ é chamado de centro de simetria interna da figura.
Algumas importantes figuras geométricas admitem centro de simetria, como, por exemplo:

  • o segmento $ \overline {AB}$, cujo centro de simetria é seu ponto médio;
    \includegraphics[ height=0.1635in, width=2.405in ]{Figuras/Fig-CentroSeimetria01.eps}
  • o paralelogramo, com centro de simetria dado pela interseção das diagonais;
    \includegraphics[ height=0.94in, width=2.0851in ]{Figuras/Fig-CentroSeimetria02.eps}
  • os polígonos regulares de número par de lados, que admitem o circuncentro por centro de simetria. Já os de número ímpar de lados não possuem centro de simetria;
    \includegraphics[ height=1.139in, width=2.7536in ]{Figuras/Fig-CentroSeimetria03.eps}
  • o círculo; etc.
    \includegraphics[ height=1.3335in, width=1.3405in ]{Figuras/Fig-CentroSeimetria04.eps}
Algumas figuras são invariantes por certas rotações, ou seja, possuem simetria rotacional. Dizemos que uma figura $ \mathcal{F}$ tem simetria rotacional de um ângulo $ \theta$, ou simetria $ \theta$-rotacional, quando coincide com sua transformada pela rotação $ R_{O,\theta }$. Exemplos de figuras que possuem simetria rotacional são:

  • círculos, que são invariantes por $ R_{O,\theta }$ para todo $ \theta$, onde $ O$ é o centro do círculo;
polígonos regulares de número de $ n$ lados, que são invariantes por $ R_{O,\theta }$ para todo $ \theta=k\frac{2\pi}{n}% $, $ k=1,2,\ldots n$, onde $ O$ é circuncentro.
\includegraphics[ height=1.5316in, width=3.1324in ]{Figuras/Fig-CentroRotacao.eps}









Postado por/; Biaah' fernanda
Fonte/;http://www.sato.prof.ufu.br/Constr-ReguaCompasso/node9.html
Postado por às

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