Matemática e suas Tecnologias

sábado, 20 de agosto de 2011

Áreas e Volumes

Obs: Aqui encontrarão as principais áreas e volumes das mais comuns figuras planas.

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço, ou seja, de superfície.

De acordo com SI (Sistema Internacional de medidas) o metro é considerado a unidade principal de medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilômetro (Km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). Entre as medidas são estabelecidos critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir:

A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são multiplicados por 10. E a medida que seguimos a orientação para a esquerda os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que os valores estejam sempre na mesma unidade. vamos realizar as seguintes transformações:

Exs:

10 Km em metros : 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 metros
7 hm em dam : 7 x 10 = 70 decâmetros
5 m em cm : 5 x 10 x 10 = 500 centímetros
4 km em mm : 4 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 4.000.000 milímetros

Quadrado

$A = l \times l$

Onde: A é a área e l o seu lado.

Ex::

01. A tampa de uma caixa mede 17cm. Qual á superfície desta tampa ?

Logo l = 17cm, substituindo na fórmula temos :

A = 17 x17

A = 289cm²

02. A medida do lado de um quadrado é 20cm. Qual é sua área ?

Logo, l = 20cm, substituindo:

A = 20²

A = 400cm²

Retângulo

$A = b \times h$

Onde; b é a base e h a altura.

Ex :

01. Um terreno medi 5m de largura por 25m de comprimento. Qual é a área deste terreno?

Temos: b = 25m e h = 5m, substituindo na fórmula:

A = 25 x 5

A = 125m²

02. A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30cm e 15cm. Qual é sua área ?

Temos: b = 30cm e h 15cm, substituindo:

A = 30 x 15

A = 450cm²

Triângulo

$A=\frac{b \times h}{2}$

Onde: b é a base e h altura.

Ex:

01. A medida da base de um triângulo é de 7cm, visto que a medida de sua altura é de 3,5cm. Qual é a área deste triângulo?

Temos: b = 7cm e h 3,5cm, substituindo:

A = 7 x 3,5 / 2

A = 12,25cm²

Trapézio

$A = \frac{(B + b)}{2} \times h$

Onde: B é a base maior, b a base menor e h a altura.

Ex:

01. Calcule a área de um trapézio, cujo suas medidas são, 40cm e 20cm de base e 10cm de altura.

A= 40 + 20 x 10/2

A = 600/2

A = 300cm²

Paralelogramo

A = a x h

Onde: a base e h altura.

Losango

$A = \frac{D \times d}{2}$

Onde: D é a diagonal maior e d a diagonal menor.

Ex :

01. Se as duas diagonais de um losango medem, respectivamente, 6cm e 8cm, então a área do losango é:

Temos: D = 8cm e d = 6, substituindo:

A= 8 x 6 / 2

A = 48/2

A = 24cm²

Circulo

$A = \pi \times r^2$

$A = \pi/4 \times d^2$

Onde: r é o raio e d o diâmetro.

Ex:

01. Calcule a área do circulo que tem como raio 3cm.

Temos: r = 3cm, substituindo:

π x 3²

A = 9 $πcm²$

$VOLUME$

Volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume têm as unidades de medidas cúbicas( cm³,m³, in³,etc).

Volume	Capacidade
Metro cúbico	Quilolitro
Decímetro cúbico	Litro
Centímetro cúbico	Mililitro

Cubo

V = a³

Ex :

01. O volume de um cubo é de 8cm³, então quanto vale o comprimento de seus lados?

8 = a³

a =

a = 2cm

Paralelepípedo

V = a x b x c

Prisma

V = A x h

Onde: A é a área da base e h a altura.

Cilindro

V = πr²h

Onde: r é o raio de uma face circular e h a altura.

Pirâmide

$V = \frac{bh}{3}$

Onde: b é a base e h a altura .

Esfera

$\!V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Onde: r é o raio da esfera.

Cone

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot h$

Onde: r é o raio do circulo na base e h a altura.

Elipsoide

V = $\frac{4}{3} \pi abc$

Enfim, terminamos aqui nosso assunto, lembrando que abordamos apenas as principais figuras dentre as várias existente.

Fonte :

sexta-feira, 19 de agosto de 2011

Porcentagem

Porcentagem

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.

Ex :

Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.

Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Ex :

O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.

Desconto de 25% nas compras à vista.

Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.

Ex :

Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.

1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

Solução:

---

-- 300 - 30 = 270 , Logo pagarei, R$ 270,00.

2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.

Solução: 32% =

Logo, Pedro gastou 32m de mangueira.

3.O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35.000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Solução:

(% / R$)

120 35 000

100 x

Logo, o preço anterior era R$ 29.166,67

Fonte:

quinta-feira, 4 de agosto de 2011

Razões e Proporções

Razão

É uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

As razões acima podem ser lidas como:

razão de a para b
a está para b
a para b

Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razão inversa ou recíproca

Vejamos as seguintes razões:

Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.

Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razões:

A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.

Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.

Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.

Proporção

É a igualdade entre razões.

Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.

Indicamos esta proporção por:

a : b = c : d

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

10 : 5 = 14 : 7

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

a . d = b . c

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:

Quarta proporcional

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

Terceira proporcional

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Fonte: Matemática Didática

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sábado, 20 de agosto de 2011

Áreas e Volumes

sexta-feira, 19 de agosto de 2011

Porcentagem

quinta-feira, 4 de agosto de 2011

Razão inversa ou recíproca

Propriedade fundamental das proporções

Segunda propriedade das proporções

Terceira propriedade das proporções

Quarta proporcional

Terceira proporcional

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