segunda-feira, 22 de agosto de 2011

Características das figuras planas e espaciais

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

POLÍGONO
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.
TRIÂNGULOS  
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:  
Equilátero - todos os lados iguais  
Isósceles - dois lados iguais
Escaleno - todos os lados diferentes


Quanto aos ângulos:  
Acutângulo - Um ângulo agudo
Obtusângulo - Um ângulo obtuso 
Retângulo - Um ângulo reto

Algumas propriedades:   
- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.   
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.  
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
   - Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo

Os triângulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com seus lados(Eqüiláteros - Possuem três lados de mesmo comprimento, Isósceles - possuem dois lados de mesmo comprimento e Escalenos - possuem três lados de comprimentos diferentes) ou quanto a seus ângulos(Retângulos - possuem um ângulo de 90° graus, também chamado ângulo reto, Obtusângulos - possuem um ângulo obtuso, ou seja, um ângulo com mais de 90°, Acutângulos - possuem três ângulos agudos, ou seja, menores do que 90°). Polígonos são definidos como a figura formada po um número n maior ou igual a 3 de pontos ordenados de forma que três pontos consecutivos sejam não colineares.

Um exemplo de polígono de 3 lados é um triângulo. Os polígonos possuem denominações particulares para enes diferentes:n=3 - triângulo, n=4 - quadrilátero, n=10 - decágono, n=20 - icoságono). Estas denominações são derivadas dos nomes dos números em grego. Outra forma importante da geometria plana é a circunferência definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva. Chamamos de círculo ao conjunto de uma circunferência e seus pontos internos. Existem também certos casos especiais para quadriláteros como definiremos a seguir: é dado o nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos.
Para o caso dos lados não paralelos serem congruentes dá-se a este trapézio o nome de trapézio isósceles, para o caso de lados não paralelos não congruentes é dado o nome de trapézio escaleno, e um trapézio que possui um lado perpendicular as bases é chamado trapézio retângulo. Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si. O losango possui quatro lados congruentes entre si, e finalmente o quadrado que possui 4 lados e quatro ângulos congruentes entre si.

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará
inteiramente contido no polígono.
PolígonoNo. de ladosPolígonoNo. de lados
Triângulo3Quadrilátero4
Pentágono5Hexágono6
Heptágono7Octógono8
Eneágono9Decágono10
Undecágono11Dodecágono12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
As diagonais cortam-se ao meio 

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

Elementos de Geometria espacial
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.
Conceitos gerais
Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.
Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:
  • Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);
  • Um ponto e uma reta que não contem o ponto;
  • Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;
  • Duas retas paralelas que não se sobrepõe;
  • Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;
  • Duas retas concorrentes;
  • Dois segmentos de reta concorrentes.
Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.
Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.
Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.


Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.
Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).




E agora um video pra voces entender um pouco mais sobbre esse assunto um pouco complicado ok!






Fonte: 1.http://www.mundovestibular.com.br/articles/4237/1/GEOMETRIA-PLANA/Paacutegina1.html
              2.http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-espacial.html
              3.http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-elem/geometr.htm


Postado por Bianca fernanda

domingo, 21 de agosto de 2011

Juros

  • Juros Simples e Composto



Juros

O juro é definido como sendo a remuneração a qualquer título do capital. É o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como a remuneração do capital empregado em atividades produtivas.

O juro é calculado através de uma taxa percentual, a qual denominamos taxa de juros. Portanto, a taxa de juros representa o juro em termos percentuais.

A taxa de juros pode ser expressa em termos percentuais ou unitário e refere se sempre a um determinado período de tempo que pode ser dia, mês, trimestre, semestre, ano

Esta noção de tempo (dia, mês ou ano) é fundamental.

Diferença entre juros simples e juros compostos

Juro simples é aquele pago somente sobre o capital inicial. Ou seja, somente há juros sobre o valor inicial.

No regime de juros compostos há incidência de juros sobre o capital inicial e sobre os juros calculados. Ou seja, há juros sobre juros.

Supondo um capital de $ 10.000 a um taxa de juros de 5% a.m. temos o cálculo de juros com os dois métodos:

Juros simples

Juros Simples são calculados multiplicando o valor do capital pela taxa e pelo período:

Desta fórmula, decorre que:

C = Capital ou Principal J = Juros i = taxa de juros t = período

Exemplo

Os juros simples do capital de R$ 5.000,00 calculados à taxa de 6% a.a serão, no fim de 2 anos.

J = C x i x n J = 5.000 x 0,06 x 2 J = R$ 600,00

Juros Compostos

No regime de Juros Compostos, ao contrário do regime de Juros Simples onde apenas o capital inicial rende juros, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros do período seguinte. Portanto, os juros de cada período serão calculados sobre o montante do período anterior.

Supondo como exemplo um capital de $ 1.000 e uma taxa de 10% a.m. podemos comparar as principais diferenças entre os Juros Simples e os Juros Compostos:

Juros Simples

Juros Compostos

T

Juro por período

Montante

t

Juro por período

Montante

1

1.000×0,1=100

1.100

1

1.000×0,1=100

1.100

2

1.000×0,1=100

1.200

2

1.100×0,1=110

1.210

3

1.000×0,1=100

1.300

3

1.210×0,1=121

1.331

4

1.000×0,1=100

1.400

4

1.331×0,1=133

1.464

Crescimento do Montante em P. A. com r = 100

Crescimento do Montante em P. G. com q = 1,1

Comportamento da Função: LINEAR

Comportamento da Função: EXPONENCIAL

Fórmula para o Montante:

VF=VP x (1+ (i x n))

Fórmula para o Montante:

VF=VP x (1+i)n

Exemplo

Determinar o valor acumulado ao final de 24 meses, a taxa de juros compostos de 1% a.m. para um investimento de R$ 2.000,00.

VF = VP x (1 + i)n VF = 2.000 x (1+0,01)24

VF = 2.000 x 1,269734649

VF = R$ 2.539,47 (resposta)

Valor Presente

O valor presente representa a soma das parcelas do fluxo, atualizadas para uma determinada data, anterior ao final do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. Ele será obtido pela fórmula:

Exemplo

João fez uma dívida no banco para saldá-la em 24 prestações de R$ 934,09. De quanto foi o empréstimo se a taxa de juros cobrada foi de 5 % a.m.?

Valor Futuro

O valor futuro será a soma dos montantes de cada prestação em uma determinada data, calculados pela mesma taxa de juros. Ele é calculado pela fórmula:

João quer comprar um carro daqui a um ano. Quanto ele deve poupar por mês se o carro custa R$ 10.000,00 e a taxa de juros oferecida pelo banco é de 3.5 % a.m.?

Exemplo




Fonte: ebaH eu compartilho.


sábado, 20 de agosto de 2011

Áreas e Volumes

Obs: Aqui encontrarão as principais áreas e volumes das mais comuns figuras planas.


Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço, ou seja, de superfície.

De acordo com SI (Sistema Internacional de medidas) o metro é considerado a unidade principal de medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilômetro (Km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). Entre as medidas são estabelecidos critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir:



A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são multiplicados por 10. E a medida que seguimos a orientação para a esquerda os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que os valores estejam sempre na mesma unidade. vamos realizar as seguintes transformações:


Exs:
  1. 10 Km em metros : 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 metros
  2. 7 hm em dam : 7 x 10 = 70 decâmetros
  3. 5 m em cm : 5 x 10 x 10 = 500 centímetros
  4. 4 km em mm : 4 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 4.000.000 milímetros


  • Quadrado
Área do Quadrado

A = l \times l

Onde: A é a área e l o seu lado.

Ex::

01. A tampa de uma caixa mede 17cm. Qual á superfície desta tampa ?

Logo l = 17cm, substituindo na fórmula temos :

A = 17 x17
A = 289cm²


02. A medida do lado de um quadrado é 20cm. Qual é sua área ?

Logo, l = 20cm, substituindo:

A = 20²
A = 400cm²



  • Retângulo



A = b \times h

Onde; b é a base e h a altura.


Ex :

01. Um terreno medi 5m de largura por 25m de comprimento. Qual é a área deste terreno?

Temos: b = 25m e h = 5m, substituindo na fórmula:

A = 25 x 5
A = 125m²

02. A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30cm e 15cm. Qual é sua área ?

Temos: b = 30cm e h 15cm, substituindo:

A = 30 x 15
A = 450cm²



  • Triângulo




A=\frac{b \times h}{2}

Onde: b é a base e h altura.


Ex:

01. A medida da base de um triângulo é de 7cm, visto que a medida de sua altura é de 3,5cm. Qual é a área deste triângulo?

Temos: b = 7cm e h 3,5cm, substituindo:

A = 7 x 3,5 / 2
A = 12,25cm²


  • Trapézio

Área do Trapézio


A = \frac{(B + b)}{2} \times h


Onde: B é a base maior, b a base menor e h a altura.


Ex:

01. Calcule a área de um trapézio, cujo suas medidas são, 40cm e 20cm de base e 10cm de altura.

A= 40 + 20 x 10/2
A = 600/2
A = 300cm²



  • Paralelogramo


Área do Paralelogramo

A = a x h

Onde: a base e h altura.



  • Losango

Área do Losango



A = \frac{D \times d}{2}


Onde: D é a diagonal maior e d a diagonal menor.


Ex :

01. Se as duas diagonais de um losango medem, respectivamente, 6cm e 8cm, então a área do losango é:

Temos: D = 8cm e d = 6, substituindo:

A= 8 x 6 / 2
A = 48/2
A = 24cm²


  • Circulo
Área do Circulo

A = \pi \times r^2

A = \pi/4 \times d^2

Onde: r é o raio e d o diâmetro.


Ex:

01. Calcule a área do circulo que tem como raio 3cm.

Temos: r = 3cm, substituindo:

A= π x 3²
A = 9πcm²



VOLUME

Volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume têm as unidades de medidas cúbicas( cm³,m³, in³,etc).

VolumeCapacidade
Metro cúbicoQuilolitro
Decímetro cúbicoLitro
Centímetro cúbicoMililitro


  • Cubo


V = a³

Ex :

01. O volume de um cubo é de 8cm³, então quanto vale o comprimento de seus lados?

8 = a³
a =
a = 2cm




  • Paralelepípedo


V = a x b x c





  • Prisma


V = A x h


Onde: A é a área da base e h a altura.





  • Cilindro


Cylinder (geometry).png














V = πr²h


Onde: r é o raio de uma face circular e h a altura.


  • Pirâmide



V = \frac{bh}{3}


Onde: b é a base e h a altura .




  • Esfera


\!V = \frac{4}{3}\pi r^3



Onde: r é o raio da esfera.



  • Cone


 V=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot h

Onde: r é o raio do circulo na base e h a altura.



  • Elipsoide





V = \frac{4}{3} \pi abc





Enfim, terminamos aqui nosso assunto, lembrando que abordamos apenas as principais figuras dentre as várias existente.








Fonte :

sexta-feira, 19 de agosto de 2011

Porcentagem

  • Porcentagem


Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.

Ex :

Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.

Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Ex :

  • O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.

  • Desconto de 25% nas compras à vista.


Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.

Ex :








Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.


1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

Solução:

--- -- 300 - 30 = 270 , Logo pagarei, R$ 270,00.


2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.

Solução: 32% =


Logo, Pedro gastou 32m de mangueira.



3.O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35.000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Solução:


(% / R$)

120 35 000

100 x





Logo, o preço anterior era R$ 29.166,67