quinta-feira, 28 de julho de 2011

Fatoração


Fatorar- é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

A fatoração mais comum é a fatoração de números, vela a do número 144:

Para fatorarmos 144 devemos dividi- lo por fatores primos (números que dividem por um e por ele mesmo), vejamos:


144= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3= 24 x 32

[Fatores Primos]


Podemos fatorar não só números, mas também expressões algébricas, a fatoração é uma forma diferente de representarmos um número ou uma expressão.

  • 50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5² é a forma fatorada do número 50.
  • x² - 1 = (x + 1).(x - 1) é a forma fatorada da expressão x² - 1.
Para cada expressão algébrica, dependendo da quantidade de monômios ou da operação entre eles, ela tem uma forma diferente de ser fatorada. Vejamos o nome de cada caso de fatoração:
  1. Fator Comum (colocar o termo em evidência);
  2. Agrupamento;
  3. Trinômio do quadrado perfeito;
  4. Trinômio do tipo x² + sx + p;
  5. Diferença de dois quadrados;
  6. Soma de dois cubos;
  7. Diferença de dois cubos.


Fator comum em evidência


Quando a expressão possuir um termos ou variável em comum.

Observe o polinômio:

ax + ay , ambos apresentam o fator a em evidência.

Assim, ax + ay = a(x + y), Forma Fatorada

Ex ;

a) bx + by - bz = b(x + y - z)


b) 2x² + 4xy = 2x(x+ 2y)


c)12ax²z + 24axz² - 12a²xz = 12axz(x + 2z - a)


Fatoração por agrupamento


Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay +bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x + y) + b.(x + y)


Esse novo polinômio possui (x + y) em comum. Assim, colocando- o em evidência:


(x + y).(a + b), ou seja, ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b)


Ex:

a) x² - 3x - ax - 3a = x.(x - 3) + a.(x - 3) = (x - 3).(x + a)


b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b².(2 + a) + c³.(2 + a) = (2 + a).(b² + c³)


Trinômio quadrado perfeito


O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômio(a² + 2ab + b²) e (a² - 2ab + b²) são quadrados perfeitos, porque são obtidos quando se eleva (a + b) e (a - b) ao quadrado, respectivamente.

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²= a² - 2ab + b²


Assim:

4x² - 12xy + 9y²

| |

| |

2x 3y

|__________|

|

2.2x.3y = 12xy (note que é igual ao segundo termo de 4x² - 12xy + y²), portanto, trata- se de um quadrado perfeito.

4x² - 12xy + 9y² = ( 2x - 3y)² -- Forma Fatorada


Ex :

a) x² - 10x +25 = (x - 5)²


b)16x² + 24xy +9y² = (4x + 3y)²

Obs: Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá- la por completo:

a) 3x² + 6x + 3 = 3.( x² + 2x + 1) = 3(x + 1)²


b) 25a4 - 100b² = 25.(a4 - 4b²) = 25.(a² + 2b).(a² - b)


Trinômio do Tipo: x² + sx + p


O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio.

A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem quer formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de Trinômio do Tipo x² + sx + p, onde S é a soma , e P o produto.


Veja os exemplos:

Dada a expressão y² - 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito .

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatora essa expressão algébrica é x² + sx + p. Dada a expressa y² - 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes, se estiver basta achar dois números que somados que resultem em -5 e que o produto resultem em 6.

Vamos fazer as tentativas para que o produto resultem em 6:

  • 2 X 3 = 6
  • (-2) x (-3) = 6
  • 6 x 1 = 6
  • -6 x (-1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidade, achar uma das que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(y - 2).(y - 3).

Dada a expressão , m² + 7m - 8, devemos achar dois números que resulte 7 e produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em -8.
  • 1 x (-8) = -8
  • -1 x 8 = -8
  • 4 x (-2) = -8
  • -4 x 2 = -8
Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma das que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(m - 1).(m + 8)


Outros casos de fatoração

  1. x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
  2. x³ - y³ = (x - y).(x² + xy +y²)





















Fontes:







quarta-feira, 27 de julho de 2011

Divisibilidade


Em uma divisão existem alguns termos:

  • Dividendo- número que será dividido;
  • Quociente- resultado da divisão;
  • Divisor- número que divide e
  • Resto- o que sobra da divisão.
Quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exata. Sendo assim, podemos concluir que nessa divisão ocorre uma divisibilidade, ou seja, podemos encontrar múltiplos e divisores.


  • Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Ex :

8490 é divisível por 2, pois termina em 0.
895 não é divisível por 2, pois não é um número par.


  • Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Ex :

870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3.


  • Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Ex :

9500 é divisível por 4, pois termina em 00.
6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.
836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4.
9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4.


  • Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Ex:

425 é divisível por 5, pois termina em 5.
78960 é divisível por 5, pois termina em 0.
976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.


  • Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Ex::

942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.


  • Divisibilidade por 7

Seja um número 59325.

Separamos o dígito das unidades (5) do restante do número, 5932, tiramos o dobro do dígito(2 x 5). Do resto, separamos novamente o dígito das unidades e procedemos como se mostra a seguir:

Ex¹ :

59325 x 2 = 5932 - 10 = 5922
5922 x 2 = 592 - 4 = 588
588 x 2 = 58 - 16 = 42

Como o último resto, 42, é divisível por 7, concluímos que 59325 é divisível por 7.

Ex² : Seja agora o número 35487.

35487 x 2 =3548 - 14 = 3534
3534 x 2 = 353 - 8 = 345
345 x 2 = 34 - 10 = 24

Como 24 não é divisível por 7, concluímos que 35487 não é divisível por 7.


  • Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Ex :

2000 é divisível por 8, pois termina em 000.
98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.
98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

  • Divisibilidade por 9

É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9.

Ex:

90 é divisível por 9, pois 9 + 0 = 9
1125 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9
4788 é divisível por 9, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27


  • Divisibilidade por 10

Todo número terminado em 0 será divisível por 10.

Ex :

100 é divisível por 10
200 é divisível por 10
4.000 é divisível por 10


  • Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.

Ex :

1342 é divisível por 11, pois 134 - 2 = 132 → 13 - 2 = 11
2783 é divisível por 11, pois 278 - 3 = 275 → 27 - 5 = 22
7150 é divisível por 11, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66


  • Divisibilidade por 12

São os números divisíveis por 3 e 4.

Ex :

276 é divisível12, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69
672 é divisível 12, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168


  • Divisibilidade por 13

Verificaremos se 8281 e 30204 são divisíveis por 13

Ex¹:

8281 x 9 = 828 - 9 = 819
819 x 9 = 81 - 81 = 0

0 é divisível por 13; logo, 8281 é divisível por 13.


Ex²:


30204 x 9 = 3020 - 36 = 2984
2984 x 9 = 298 - 36 = 262
262 x 9 = 26 - 18 = 8

8 não é divisível por 13; logo, 30204 não é divisível por 13.















Fontes: